Question

6．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD=CE，AD、BE相交于点M．求证：
（1）△AME∽△BAE；         
（2）BD²=AD•DM．

Answer 1

分析 （1）首先利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△ABD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质得∠EAM=∠EBA，由相似三角形的（AA）判定定理得结论；
（2）利用（1）中结论可得∠BAD=∠MBD，又∠BDA=∠MDB，由相似三角形的判定定理得△BDA∽△MDB，利用相似三角形的性质可得结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
在△ABD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCE=60°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠EAM=∠CAB-∠BAD=60°-∠BAD，∠EBA=∠ABC-∠CBE=60°-∠CBE，
∴∠EAM=∠EBA，
∵∠AEM=∠BEA，
∴△AME∽△BAE；

（2）∵∠BAD=∠CBE，即∠BAD=∠MBD，∠BDA=∠MDB，
∴△BDA∽△MDB，
∴$\frac{BD}{MD}=\frac{DA}{DB}$，
∴BD²=DA•DM．

点评 本题主要考查了全等三角形与相似三角形的判定及性质定理，利用等边三角形的性质得到判断全等三角形的条件是解答此题的关键．