Question

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠DCB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{3}$，点G是线段AB中点，点F在线段BC上，连接GF，将线段GF绕点G逆时针旋转60°，得到线段GE，GE交CD于点H，连结DE，且DE⊥DC，则HE的长为$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥GC于N，连接DG、CG，通过解直角三角形求得∠AGD=30°，∠CGB=60°，∠CGD=90°，进而求得∠EDG=150°=∠FCG，∠CGF=∠E，证得△DEG≌△CGF，得出DE=CG=2BG=12，CF=DG=4$\sqrt{3}$，即可求得CN=6，BF=10$\sqrt{3}$，GN=CG+CN=18，根据勾股定理求得FG=4$\sqrt{21}$，然后通过证得△DEH∽△NGF，得出$\frac{HE}{FG}$=$\frac{ED}{GN}$，即可求得HE的长．

解答 解：过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥GC于N，连接DG、CG，
∴CM=BC-BM=BC-AD=4$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°，
∴DM=$\sqrt{3}$CM=12，
∴AG=BG=6，
∵AD=2$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{3}$，
∴tan∠AGD=$\frac{AD}{AG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠CGB=$\frac{BC}{BG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AGD=30°，∠CGB=60°，
∴∠CGD=90°，∠CDG=60°，∠BCG=30°，
∴∠DGE+∠CGF=90°-∠EGF=30°，
∵∠EDG=∠CDG+∠EDH=150°=180°-∠BCG=∠FCG，
∴∠DGE+∠E=30°，
∴∠CGF=∠E，
在△DEG和△CGF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠FCG}\\{∠E=∠CGF}\\{GE=GF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△CGF（AAS），
∴DE=CG=2BG=12，CF=DG=4$\sqrt{3}$，
∴CN=CF•cos∠FCN=6，BF=BC+CF=10$\sqrt{3}$，
∴GN=CG+CN=18，
又FG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（10\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∵∠CGF=∠E，∠DHE=∠FNG=90°
∴△DEH∽△NGF，
∴$\frac{HE}{FG}$=$\frac{ED}{GN}$，即$\frac{HE}{4\sqrt{21}}$=$\frac{12}{18}$，
∴HE=$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，解直角三角函数，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．