在矩形ABCD中(四个角都是直角.AD=BC.AB=CD).将矩形折叠.使点B落在边AD上B’处.这时折痕与边AD和BC分别交于点E.点F．然后再展开铺平.以B.E.F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形． (1)判断△BEF的形状,(2)若AB=2.AD=4.折痕△BEF的面积是否存在最大值.若存在.请求出此时AE的长,若不存在.请说明理由．(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在矩形ABCD中（四个角都是直角，AD=BC，AB=CD），将矩形折叠，使点B落在边AD上B’处，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．
（1）判断△BEF的形状；
（2）若AB=2，AD=4，折痕△BEF的面积是否存在最大值，若存在，请求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
（3）当AB、AD满足什么关系时，存在折痕△BEF为等边三角形，请直接写出结果．

分析（1）用折叠得出∠BEF=∠B'EF，再用矩形的性质得出∠BFE=∠B'EF进而得出∠BEF=∠BFE即可判断出△BEF是等腰三角形；
（2）先判断出△BEF面积最大时，点B'和点D重合，再用勾股定理即可求出BF，即可得出结论；
（3）先判断出存在折痕△BEF为等边三角形是AB'与AD的关系，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．

解答解：（1）△BEF是等腰三角形；
理由：由折叠得，BE=B'E，BF=B'F，∠BEF=∠B'EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠B'EF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形；
（2）由（1）知，BE=B'E，BF=B'F，
∴BE=B'E=B'F=BF，
∴四边形BEB'F是菱形，
∵AB=2，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BF•AB=BF，
要△BEF面积最大，即：BF最大，
∴当点B'和D重合时，△BEF面积最大，
设BF=x，
∴CF=BC-BF=AD-BF=4-x，
由（1）知，DF=BF=x，
在Rt△CDF中，CD²+CF²=DF²，
∴4+（4-x）²=x²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴DE=BF=$\frac{5}{2}$，
∴AE=AD-DE=$\frac{3}{2}$，
（3）由（1）知，△BEF是等腰三角形；
要存在折痕△BEF为等边三角形，只要当∠EBF=60°时，AB'≤AD，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$AE，BE=2AE，
∴B'E=BE=2AE，
∴AB'=AE+B'E=3AE=$\sqrt{3}$AB，
∴AD≥$\sqrt{3}$AB．
即：当AD≥$\sqrt{3}$AB时，存在折痕△BEF为等边三角形．

点评此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，解本题的关键是判断出，△BEF是等腰三角形．

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