练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等边△MPF和等边△PQE，连接EF．

    （一）试探索EF与AB位置关系，并证明；

    （5）如图5，当点P为BC延长线上任意一点时，（一）结论是否成立？请说明理由．

    （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（一）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

     

    【答案】

     

    (1)见解析

    (2)见解析

    (3)见解析

    【解析】（1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；

    （2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；

    （3）需要添加的条件需满足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行）．

    解：（1）EF⊥AB．

    ∵△PCF和△PQE都是等边三角形，

    ∴PF=PC，PE=PQ，

    ∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，

    ∴∠EPF=∠QPC，

    ∴△PFE≌△PCQ；

    ∴∠EPF=∠QPC=60°，

    ∴EF⊥PF；

    在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，

    ∴∠B=60°；

    又∵∠FPC=60°，

    ∴∠B=∠FPC，

    ∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行），

    ∴EF⊥AB；

    （2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立．

    证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形，

    ∴PF=PC，PE=PQ，

    ∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，

    ∴∠EPF=∠QPC，

    ∴△PFE≌△PCQ；

    ∴∠EFP=∠QCP=60°，

    ∴EF⊥PF；

    在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，

    ∴∠B=60°；

    又∵∠FPC=60°，

    ∴∠B=∠FPC，

    ∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行），

    ∴EF⊥AB；

    （3）要使（1）1结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE．

    需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区一模）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
    （l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
    （2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
    （3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•锦州一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．
    （1）试探索EF与AB位置关系，并证明；
    （2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由．
    （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．

    （1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．
    （2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线 l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．
    （3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2012届山东省东阿县姚寨中学中考模拟7数学试卷（带解析） 题型：解答题

    如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等边△MPF和等边△PQE，连接EF．
    （一）试探索EF与AB位置关系，并证明；
    （5）如图5，当点P为BC延长线上任意一点时，（一）结论是否成立？请说明理由．
    （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（一）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案