Question

已知抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点（0，0）和点A₁（b₁，0），抛物线C₂：y₂=a（x-b₁）²+k₂交x轴与点（0，0）与点A₂（b₂，0），抛物线C₃：y₃=a（x-b₂）²+k₃交x轴与点（0，0）与点A₃（b₃，0）…按此规律，抛物线C_n：y_n=a（x-b_n-1）²+k_n交x轴与点（0，0）与点A_n（b_n，0）（其中n为正整数），我们把抛物线C₁，C₂，C₃…，C_n称为系数为a的”关于原点位似“的抛物线族．
（1）试求出b₁的值；
（2）请用含n的代数式表示线段A_n-1A_n的长；
（3）探究下列问题：
①抛物线C_n：y_n=a（x-b_n-1）²+k_n的顶点纵坐标k_n与a、n有何数量关系？请说明理由；
②若系数为a的”关于原点位似“的抛物线族的各顶点坐标记为（T，S），请直接写出S和T所满足的函数关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点，进一步得到b₁的值；
（2）由与（1）相同的方法可得b_n=2ⁿ，则A_n-1A_n=b_n-b_n-1可求；
（3）①由（1）同样的方法可知，k₃=-16a，k₄=-64a，按此规律可知，k_n与a、n的数量关系；
②根据抛物线族的顶点坐标S和T之间的关系即可求解．

解答：解：（1）∵抛物线C₁：y₁=a（x-1）²+k₁（a≠0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴b₁=2．

（2）由与（1）相同的方法可得b₂=4，b₃=8，b₄=16，
按此规律可得b_n=2ⁿ，
∴A_n-1A_n=b_n-b_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．

（3）①k_n与a、n的数量关系为：k_n=-4^n-1a，理由如下：
由（1）将（0，0）代入y₁=a（x-1）²+k₁，可得k₁=-a，
∵b₁=2，
∴C₂：y₂=a（x-b₁）²+k₂可化为C₂：y₂=a（x-2）²+k₂，
∵抛物线C₂：y₂=a（x-2）²+k₂交x轴与点（0，0），
∴0=a（0-2）²+k₂，
∴4a+k₂=0，即k₂=-4a．
用同样的方法可知，k₃=-16a，k₄=-64a，
按此规律可知，k_n与a、n的数量关系为：k_n=-4^n-1a．
②抛物线族的顶点坐标S和T所满足的函数关系式为：S=-aT²（T≥0）．

点评：考查了二次函数综合题，主要利用了二次函数的对称性，以及顶点坐标，要结合图形进行分析．