Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由根与系数的关系可得出tanA•tanB=12k²-37k+26，根据正切的定义即可得出tanA•tanB=$\frac{a}{b}$•$\frac{b}{a}$=1，由此即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，将k值代入原方程再根据根的判别式△≥0即可确定k的值；
（2）将k的值代入原方程，解方程求出x的值，分a＜b和a＞b两种情况考虑，根据x的值结合c=10利用勾股定理即可求出a、b的值，此题得解．

解答 解：（1）∵tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根，
∴tanA•tanB=12k²-37k+26．
又∵tanA•tanB=$\frac{a}{b}$•$\frac{b}{a}$=1，
∴12k²-37k+26=1，
解得：k₁=$\frac{25}{12}$，k₂=1．
当k₂=1时，原方程化为x²-x+1=0，
此时△=（-1）²-4×1×1＜0，不合题意，舍去，
∴k=$\frac{25}{12}$．
（2）当k=$\frac{25}{12}$时，原方程化为x²-$\frac{25}{12}$x+1=0，
解得：x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=$\frac{3}{4}$．
①当a＞b时，∴tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{4}{3}$，
不妨设a=4m，b=3m（m＞0），
∴c=5m，
∵c=10，
∴5m=10，
∴m=2，
∴a=8，b=6；
②当a＜b时，∴tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，
同理可得a=6，b=8．
∴a=6，b=8或a=8，b=6．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及勾股定理，利用勾股定理求出三角形的两直角边长是解题的关键．