Question

若实数x满足x⁵+x⁴+x=-1，则x¹⁹⁹⁷+x¹⁹⁹⁸+…+x²⁰⁰⁷的值为（　　）

A、2

B、0

C、-2

D、-1

Answer 1

分析：首先对x⁵+x⁴+x=-1，即x⁵+x⁴+x+1=0，等号左边通过拆分项、提取公因式、完全平方式因式分解，转化为（x+1）（x⁴+1）=0．针对因式x⁴+1可知其大于0，进而判定x+1=0，求得x的值为-1．最后将x的值代入x¹⁹⁹⁷+x¹⁹⁹⁸+…+x²⁰⁰⁷即可求得结果．

解答：解：∵x⁵+x⁴+x=-1，即x⁵+x⁴+x+1=0，，
∴x⁴（x+1）+（x+1）=（x⁴+1）（x+1）=0，
又∵x⁴＞0，
∴x+1=0，即x=-1，
∴x¹⁹⁹⁷+x¹⁹⁹⁸+…+x²⁰⁰⁷=（-1）+1+…+（-1）=-1．
故选D．

点评：本题考查高次方程、代数式求值、因式分解．解决本题的关键通过因式分解，降次转化为一元二次方程与一次方程，进而求得x的值，原题得解．