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    （2013•秀洲区二模）如图①，平面直角坐标系中，直线y=
    		3
    3
    x+3    分别交x轴、y轴于点A、B，OC⊥AB于点C，D是AB的中点．动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动．设点P的运动时间为t秒，当点P到达O点时P、Q同时停止运动．
    （1）求OD的长；
    （2）当点P在AD上运动时，设△DPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
    （3）如图②，当点P在DO上、点Q在OB上运动时，PQ与OC交于点E，当t为何值时，△OPE为等腰三角形？
    分析：（1））根据直线y=
    		3
    3
    x+3    交x轴于点A、y轴于B，求出A与B点的坐标，得出AB的值，再根据D是AB的中点，即可求出OD的值；
    （2）先过Q作QE⊥AB于E，根据OC⊥AB于点C，得出
    QE
    OC
    =
    DQ
    DO
    ，AB•OC=AO•BO，求出OC的值，再根据DP=AD-AP=3-t，DQ=t，得出QE的值，再根据S△DPQ=
    1
    2
    DP•QE=-
    		3
    4
    t2    +
    3
    		3
    4
    t    ，即可得出S的最大值；
    （3）当PE=OE时，PQ∥OA，得出t-3=
    1
    2
    （6-t），求出t的值；当OP=OE时，根据∠COD=30°，求出∠PQO=45°，过P作PF⊥OB，得出PF=QF，根据PF=cos30°×OP=
    		3
    2
    （6-t），QF=t-3-
    1
    2
    （6-t），得出t-3-
    1
    2
    （6-t）=
    		3
    2
    （6-t），求出t的值；当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，得出PE∥OB，此时△POE不存在，从而求出t=4或t=3+
    		3
    时，△OPE为等腰三角形．
    解答：解：（1）∵直线y=
    		3
    3
    x+3    交x轴于x轴、y轴于点A、B，
    ∴A点的坐标是（-3
    		3
    ，0），B点的坐标是（0，3），
    ∴AB=6，
    ∵D是AB的中点，
    ∴OD=3；

    （2）过Q作QE⊥AB于E，如图，
    ∵OC⊥AB于点C，
    ∴
    QE
    OC
    =
    DQ
    DO
    ，AB•OC=AO•BO，
    ∴6OC=3
    		3
    ×3，
    ∴OC=
    3
    		3
    2
    ，
    ∵动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
    动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动，
    ∴DP=AD-AP=3-t，DQ=t，
    ∴
    QE
    3
    		3
    2
    =
    t
    3
    ，
    ∴QE=
    		3
    2
    t，
    ∴S△DPQ=
    1
    2
    DP•QE=
    1
    2
    （3-t）×
    		3
    2
    t=-
    		3
    4
    t2    +
    3
    		3
    4
    t    ，
    ∵0＜t≤3，
    当t=
    3
    2
    时，S的最大值=
    9
    		3
    16
    ；

    （3）当PE=OE时，PQ∥OA，
    ∴OQ=
    1
    2
    OP，即t-3=
    1
    2
    （6-t），
    ∴t=4，
    当OP=OE时，
    ∵∠COD=30°，
    ∴∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
    过P作PF⊥OB，
    ∴PF=QF，
    ∵PF=cos30°×OP=
    		3
    2
    （6-t），
    QF=t-3-
    1
    2
    （6-t），
    ∴t-3-
    1
    2
    （6-t）=
    		3
    2
    （6-t），
    ∴t=3+
    		3
    ，
    当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，
    则PE∥OB，
    此时△POE不存在，
    所以此情况不成立，
    综上当t=4或t=3+
    		3
    ，△OPE为等腰三角形．
    点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是直角三角形和等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定与性质，关键是根据题意画出图形，要注意把三种情况全部画出．
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