Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．

Answer 1

解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC=30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-90°-60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
则△DCE为等腰三角形；

（2）∵OA=OB=1，OF=，
∴AF=AO+OF=1+=，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=+1，
∴CE=AE-AC=+1-1=，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=，即BC=ABcos30°=，
∴CB=CE=，
在△OBC和△DCE中，
∵，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
分析：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠ABC的度数，求出圆心角∠AOC的度数为60°，再由OA=OC，得到三角形OAC为等边三角形，可得出三内角为60°，再由OC与CD垂直，根据垂直的定义得到∠OCD为直角，利用平角的定义求出∠DCE为30°，又EF垂直于AB，得到∠AFE为直角，由∠A为60°，得出∠E为30°，可得出∠DCE=∠E，根据等角对等边可得出DC=DE，即三角形DCE为等腰三角形；
（2）由半径为1及OF的长，根据AO+OF求出AF的长，在直角三角形AEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长得出AE的长，再由AE-AC求出CE的长，在直角三角形ABC中，由AB为直径，∠B为30°，根据锐角三角函数定义求出BC的长，发现BC=CE，再由三角形BOC与三角形DCE都为底角为30°的等腰三角形，得到两对底角相等，利用ASA可得出两三角形全等．
点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．