Question

如图是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？
（2）当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少？
（3）当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE．

Answer 1

（1）解：连接OC．
∵射线CP与△ABC的外接圆相切，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴射线CP旋转度数是120°；

（2）解：∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆．
当CP过△ABC外心时（即过O点），∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E处的读数为120，
当CP过△ABC的内心时，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E处的读数为90．

（3）证明：在图2中，
∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
分析：（1）连接OC．根据切线的性质，得∠OCP=90°，根据等腰三角形的性质，得∠ACO=∠A，从而求得射线CP旋转度数．
（2）当CP过△ABC外心时（即过O点）时，∠BCE=60°，根据圆周角定理，则点E处的读数是120°；
当CP过△ABC的内心时，即CP平分∠ACB，则∠BCE=45°，根据圆周角定理，则点E处的读数是90°．
（3）根据已知，知旋转了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，从而证明结论．
点评：此题综合运用了切线的性质、圆周角定理和等腰三角形的判定和性质．