Question

如图是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA方向顺时针以每秒2度的速度旋转到CB方向，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多少？
（2）设旋转x秒后，E点处的读数为y度，求y与x的函数式．
（3）当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE=CE．

Answer 1

解：（1）∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆，
当CP过△ABC外心时（即过O点），
∵∠CAB=30°，
∴∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E处的读数为120，
当CP过△ABC的内心时，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E处的读数为90．
（2）旋转x秒后，∠BCE的度数为90-2x，∠BOE的度数为180°-4x，
故可得y与x的函数式为：y=180°-4x；
（3）在图2中，当旋转7.5秒时，∠PCA=2×7.5°=15°，∠ECA=∠EBA=15°，
则∠BCE=75°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
分析：（1）CP过△ABC外心时（即过O点）时，∠BCE=60°，根据圆周角定理，则点E处的读数是120°；当CP过△ABC的内心时，即CP平分∠ACB，则∠BCE=45°，根据圆周角定理，则点E处的读数是90°．
（2）由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°-2x，从而得出∠BOE的度数，也即可得出y与x的函数式．
（3）根据已知，知旋转了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，从而证明结论．
点评：此题属于圆的综合题，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，且由每次旋转的度数相等，由图得出相等的角，并掌握量角器的用法和对含有30°三角板的运用．