Question

16．AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，连接AC、BC，直径DE⊥BC于F．
（1）如图1，求证：AD=CE；
（2）如图2，取CE中点M，连接MF并延长，交OB于点N，连接EN．求证：EN⊥OB；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE交BC于点H，若DF=2EF，CE=6，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接CD．只要证明AC∥DE，推出∠ACD=∠CDE，得$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$即可．
（2）如图2中，连接EB．只要证明△BEF≌△EBN，即可推出∠EFB=∠ENB=90°．
（3）如图3中，连接EB、CD、AF．首先证明四边形ACEF是平行四边形，推出AH=HE，求出AE即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接CD．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥BC于F，
∴∠DFB=∠ACB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴AD=CE．

（2）证明：如图2中，连接EB．

在Rt△EFC中，∵CM=ME，
∴FM=CM=ME，
∴∠MCF=∠MFC=∠BFN，
∵OE⊥BC，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，
∴∠EBC=∠ECB=∠BFN，
∴FN∥EB，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OFN=∠OEB，∠ONF=∠OBE，
∴∠OFN=∠ONF，
∴OF=ON，
∴EF=NB，
在△BEF和△EBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=NB}\\{∠BEF=∠EBN}\\{BE=EB}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△EBN，
∴∠EFB=∠ENB=90°，
∴EN⊥AB．

（3）解：如图3中，连接EB、CD、AF．

∵DE是直径，
∴∠DCE=90°=∠CFE，
∵∠CEF=∠CED，
∴△CEF∽△DEC，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{EF}{EC}$，设EF=a，则DF=2a，DE=3a（a＞0）
∴36=12a²，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，OE=OD=3$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$，
∵OA=OB，CF=FB，
∴AC=2OF=2$\sqrt{3}$，
∴AC=EF，AC∥EF，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AH=HE，
在Rt△AEB中，∵AB=6$\sqrt{3}$，EC=EB=6，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．