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【题目】已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,ACAB.ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿着CB方向匀速移动,速度为1cm/s;当PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图.设移动时间为t(s)(0<t<4).连接PQ、MQ、MC.解答下列问题:

(1)当t为何值时,PQAB?

(2)当t=3时,求QMC的面积;

(3)是否存在某一时刻t,使PQMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) (2)(3).

【解析】

试题分析:(1)根据勾股定理求出AC,根据PQAB,得出关于t的比例式,求解即可;

(2)过点P作PDBC于D,根据CPD∽△CBA,列出关于t的比例式,表示出PD的长,再根据SQMC=QCPD,进行计算即可;

(3)过点M作MEBC的延长线于点E,根据CPD∽△CBA,得出,再根据PDQ∽△QEM,得到,即PDEM=QEDQ,进而得到方程,求得或t=0(舍去),即可得出当时,PQMQ.

试题解析:(1)如图所示,AB=3cm,BC=5cm,ACAB,

RtABC中,AC=4,

若PQAB,则有

CQ=PA=t,CP=4﹣t,QB=5﹣t,

即20﹣9t+t2=t2

解得

时,PQAB;

(2)如图所示,过点P作PDBC于点D,

∴∠PDC=A=90°,

∵∠PCD=BCA

∴△CPD∽△CBA,

当t=3时,CP=4﹣3=1,

BA=3,BC=5,

CQ=3,PMBC,

(3)存在时刻,使PQMQ,

理由如下:如图所示,过点M作MEBC的延长线于点E,

∵△CPD∽△CBA,

BA=3,CP=4﹣t,BC=5,CA=4,

PQMQ,

∴∠PDQ=QEM=90°,PQD=QME,

∴△PDQ∽△QEM,

,即PDEM=QEDQ.

即2t2﹣3t=0,

或t=0(舍去),

时,PQMQ.

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