【题目】已知:如图①,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿着CB方向匀速移动,速度为1cm/s;当△PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图②.设移动时间为t(s)(0<t<4).连接PQ、MQ、MC.解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥AB?
(2)当t=3时,求△QMC的面积;
(3)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2);(3).
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理求出AC,根据PQ∥AB,得出关于t的比例式,求解即可;
(2)过点P作PD⊥BC于D,根据△CPD∽△CBA,列出关于t的比例式,表示出PD的长,再根据S△QMC=QCPD,进行计算即可;
(3)过点M作ME⊥BC的延长线于点E,根据△CPD∽△CBA,得出,,再根据△PDQ∽△QEM,得到,即PDEM=QEDQ,进而得到方程,求得或t=0(舍去),即可得出当时,PQ⊥MQ.
试题解析:(1)如图所示,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,
∴Rt△ABC中,AC=4,
若PQ∥AB,则有,
∵CQ=PA=t,CP=4﹣t,QB=5﹣t,
∴,
即20﹣9t+t2=t2,
解得,
当时,PQ∥AB;
(2)如图所示,过点P作PD⊥BC于点D,
∴∠PDC=∠A=90°,
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA,
∴,
当t=3时,CP=4﹣3=1,
∵BA=3,BC=5,
∴,
∴,
又∵CQ=3,PM∥BC,
∴;
(3)存在时刻,使PQ⊥MQ,
理由如下:如图所示,过点M作ME⊥BC的延长线于点E,
∵△CPD∽△CBA,
∴,
∵BA=3,CP=4﹣t,BC=5,CA=4,
∴,
∴,.
∵PQ⊥MQ,
∴∠PDQ=∠QEM=90°,∠PQD=∠QME,
∴△PDQ∽△QEM,
∴,即PDEM=QEDQ.
∵ ,
,
,
∴,
即2t2﹣3t=0,
∴或t=0(舍去),
∴当时,PQ⊥MQ.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD,若点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为 .
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【题目】下列命题不正确的是( )
A.对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形
B.两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形
C.两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
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【题目】如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线,
(1)∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;
(2)在△BED中作BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?
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