Question

设p＞3，且p与p+2ⁿ都是质数．求证：p+2ⁿ⁺¹为合数，n为正整数．

Answer 1

分析：假设p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹都是质数，通过证明得到p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹分别除以3得到三个余数，由于3作除数可得到的余数只有1、2，相矛盾，从而得证．

解答：证明：假设p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹都是质数，
那么它们都不能被3整除，
但p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹中不可能有两个数除3同余，
否则，如果有两个数除3同余，则它们的差：2ⁿ或2ⁿ⁺¹整除3，这不可能，
故p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹分别除以3得到三个余数，
但3作除数可得到的余数只有1、2，矛盾．
故p+2ⁿ⁺¹为合数．

点评：此题考查了质数与合数，通过反证法得到矛盾的结论是解题的关键．