Question

已知：抛物线y=x²+mx+n的顶点D（1，-4）抛物线与坐标轴的交点为A，B，C，
（1）求抛物线的解析式，并求出A，B，C，的坐标；
（2）作如图所示四个顶点在△ABC三边上的矩形EFGH．求矩形EFGH的最大面积；
（3）MN=，MN是直线y=-x上的一条动线段，当四边形AMNC的周长最小时，求N的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+mx+n的顶点为D（1，-4），
∴抛物线的顶点式为y=（x-1）²-4，即为y=x²-2x-3，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x=-1或3，即A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
当x=0时，y=-3，即C点坐标为（0，-3）；

（2）如题目图1，设G点坐标为（p，0），H点坐标为（q，0）．
易求直线AC的解析式为y=-3x-3，直线BC的解析式为y=x-3，
∴E点坐标为（q，-3q-3），F点坐标为（p，p-3），
∵矩形EFGH中，EF∥HG，
∴p-3=-3q-3，∴p=-3q，
∴GH=p-q=-4q，GF=|p-3|=3-p=3+3q，
∴矩形EFGH的面积=GH•GF=-4q（3+3q）=-12q²-12q=-12（q+）²+3，
∴当q=-时，矩形EFGH的面积最大，最大面积为3；

（3）取D（0，-1），连接AD，则AD=MN=，AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，AM=DN．
在x轴上取点D′（1，0），连接CD′交直线MN：y=-x于点N，则DO=D′O=1，∠DON=∠D′ON=45°，
∴MN是线段DD′的垂直平分线，即D与D′关于直线MN对称，
∴ND=ND′，
∴AM+NC=ND+NC=ND′+NC=CD′最小，则四边形AMNC的周长最小．
运用待定系数法求出直线CD′的解析式为y=3x-3，
由，解得，
∴N的坐标为（，-）．
分析：（1）由抛物线y=x²+mx+n的顶点为D（1，-4），根据二次函数的性质可得其顶点式为y=（x-1）²-4，展开即得抛物线的解析式为y=x²-2x-3；令y=0时，解方程x²-2x-3=0，可得与x轴的交点A与B的坐标，令x=0，可得与y轴交点C的坐标；
（2）如题目图1，设G（p，0），H（q，0），运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-3x-3，直线BC的解析式为y=x-3，则E（q，-3q-3），F（p，p-3），根据矩形的性质得EF∥x轴，得p-3=-3q-3，则p=-3q，再用含q的代数式分别表示GH，GF，根据矩形面积公式得出矩形EFGH的面积=-12（q+）²+3，然后由二次函数的性质即可求出矩形EFGH的最大面积；
（3）由于四边形AMNC的周长=AM+MN+NC+CA，而MN=，CA=，为定值，所以当AM+NC的和最小时，四边形AMNC的周长最小．为此，取D（0，-1）得?AMND，则AM=DN，作D关于直线y=-x的对称点交x轴于点D′（1，0），连接CD′交直线y=-x于点N，此时AM+NC=ND+NC=NC+ND′=CD′时最小．运用待定系数法求出直线CD′的解析式，再与y=-x联立组成方程组，即可求出点N的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求直线的解析式，矩形的面积，轴对称-最短路线问题，函数图象交点的求法等知识．运用数形结合、方程思想是解题的关键．