Question

如图，AD、BC交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．OA=OD，OE=OF．
（1）求证：AB=CD；
（2）在图中，连接某些线段可以构成一个平行四边形，请你将可以构成的平行四边形一一列举出来（不需要证明）．

Answer 1

（1）证明：∵DA=OD，OE=OF，∠AOE=∠DOF，
∴△AOE≌△DOF，（3分）
∴∠A=∠D，（3分）
∵∠AOB=∠DOC，OA=OD，
∴△AOB≌△DOC，（4分）
∴AB=CD；（5分）

（2）解：连接AC、BD，可构成平行四边形ACDB；
连接AF、ED，可构成平行四边形AFDE；
连接EC、BF，可构成平行四边形ECFB；
（共3分，多写一个扣1分）
分析：（1）由已知的OA=OD，OE=OF，再加上一对对顶角相等，根据“SAS”可得三角形AOE与三角形DOF全等，根据全等三角形的对应角相等得到三角形AOD与三角形DOC一对角相等，再由对顶角相等及OA=OD，利用“ASA”可得这两个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）连接AC，BD形成的四边形ACDB为平行四边形，理由是：根据（1）得出的三角形AOB与DOC全等，得到∠A=∠D及AB与CD相等，利用内错角相等的两直线平行得到AB与CD平行，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得证；连接AF、ED，可构成平行四边形AFDE，理由为：三角形AOE与三角形DOF全等得到∠A=∠D及AE=DF，根据内错角相等的两直线平行得到AE与DF平行，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得证；连接EC、BF，可构成平行四边形ECFB，理由：三角形AOE与三角形DOF全等得到∠A=∠D及AE=DF，根据内错角相等的两直线平行得到EB与CF平行，由AB=CD，AE=FD，两式相减可得EB=CF，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得证．
点评：此题考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定与性质．学生做题时注意第一问利用了两次全等的方法得证，其中第一次全等关键是得到∠A=∠D，从而为第二次全等提供了条件；第二问必须把图形中，所有连接能构成平行四边形的情况找全，不要多也不能少．