Question

（2012•内江）已知反比例函数y=

1

x

的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M₁，M₂，M₃…，M_n，则S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

n-1

2n

．

Answer 1

分析：延长M_nP_n-1交M₁P₁于N，先根据反比例函数上点的坐标特点易求得M₁的坐标为（1，1）；Mn的坐标为（n，

1

n

）；然后根据三角形的面积公式得S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

P₁M₁×P₁M₂+

1

2

M₂P₂×P₂M₃+…+

1

2

M_n-1P_n-1×P_n-1M_n，而P₁M₂=P₂M₃=…=P_n-1M_n=1，则S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

（M₁P₁+M₂P₂+…+M_n-1P_n-1），经过平移得到面积的和为

1

2

M₁N，于是面积和等于

1

2

（1-

1

n

），然后通分即可．

解答：解：延长M_nP_n-1交M₁P₁于N，如图，
∵当x=1时，y=1，
∴M₁的坐标为（1，1）；
∵当x=n时，y=

1

n

，
∴Mn的坐标为（n，

1

n

）；
∴S△P1M1 M2+S△P2M2M3+…+S△Pn-1Mn-1Mn=

1

2

P₁M₁×P₁M₂+

1

2

M₂P₂×P₂M₃+…+

1

2

M_n-1P_n-1×P_n-1M_n
=

1

2

（M₁P₁+M₂P₂+…+M_n-1P_n-1）
=

1

2

M₁N
=

1

2

（1-

1

n

）
=

n-1

2n

．
故答案为

n-1

2n

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足反比例函数的解析式；掌握三角形的面积公式．