Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数
y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；       
（2）若△BMN面积为$\frac{25}{4}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0），根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再根据一次函数以及反比例函数图象上点的坐标特征找出点M、N的坐标，根据三角形的面积结合△BMN面积为$\frac{25}{4}$即可得出关于t的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（8，1），
∴k=8×1=8．
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0），
将A（8，1）、B（0，-3）代入y=mx+n中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=8m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3．
当x=t时，y=$\frac{8}{t}$，
∴点M的坐标为（t，$\frac{8}{t}$）；
当x=t时，y=$\frac{1}{2}$t-3，
∴点N的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-3）．
∴MN=|$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3|，S_△BMN=$\frac{1}{2}$t•MN=|$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t-4|=$\frac{25}{4}$，
解得：t₁=3，t₂=5$\sqrt{2}$+3，t₃=-5$\sqrt{2}$+3（舍去）．
∴当t的值为3或5$\sqrt{2}$+3时，△BMN面积为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．