Question

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=75°，点I是两条角平分线的交点．
（1）求∠BIC的度数；
（2）若点D是两条外角平分线的交点，求∠BDC的度数；
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI=∠ABC=×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI=∠ACB=×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．

（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠CBD=∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分线，
∴∠BCD=∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=（∠MBC+∠NCB）=×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG=（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．
分析：（1）求∠BIC的度数，在△BCI，只要求出∠CBI+∠BCI的度数；角平分线的定义得，∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB；由三角形内角和定理，∠BAC=40°，∠ACB=75°得∠ABC的度数；
（2）三角形内角和定理求得∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）；由角平分线性质，∠CBD=∠MBC，∠BCD=∠NCB，∴∠CBD+∠BCD=（∠MBC+∠NCB）；利用三角形外角性质得，∠MBC=∠A+∠ACB，∠NCB=∠A+∠ABC，从而得出∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A；
（3）点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点得∴∠CBE与其它角的关系，∠ECG是△BCE的外角得知，∠ECG=∠CBE+∠BEC，∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠BEC，从而得∠BAC=2∠BEC．
点评：考查三角形内角和定理，角平分线的定义，外角性质．