Question

6．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在AB上，AD=AC，BE⊥直线CD于E
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD=2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，利用等腰三角形进行解答即可；
（2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）过D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质证得Rt△COD≌Rt△CHD，得出CH=CO，进一步利用性质求得BC=CH+BH=CO+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD即可．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=22.5°；
（2）作AH⊥CD于H，如图：

∵BE⊥直线CD于E，AC=AD，
∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，
∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAH，
在△CBE与△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠CAH}\\{∠BEC=∠AHC=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△ACH（AAS），
∴CH=BE，
即CD=2CH=2BE；
（3）如图，

过D作DH⊥BC于点H，
由（1）可知∠BCD=22.5°，
∵O是AB的中点，
∴∠BCO=45°，
∴∠DCO=∠HCD=22.5°，
∴DO=DH，
在Rt△COD和Rt△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DH}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△COD≌Rt△CHD，
∴CH=CO，
∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴BC=CH+BH=CO+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD．

点评 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．