Question

如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，EF⊥BC，垂足为F，BF：FC=5：1，AB=8cm，AE=2cm．则AD的长是

 

cm．

Answer 1

分析：由割线定理知：AD•AB=AE•AC，因此求AD的长，缺少的是AC或EC的长；可通过构建直角三角形求解．连接BE，在Rt△ABE中，BE的长可由勾股定理求得；在Rt△BEC中，EF⊥BC，根据射影定理可得BE²=BF•FC，由此可求出FC、BC的长，进而可求出EC的长；即可得AD的长．

解答：解：连接BE，则∠BEC=90°；
在Rt△AEB中，AB=8cm，AE=2cm；由勾股定理得，BE²=60．
在Rt△BEC中，EF⊥BC，根据射影定理，可得：
BE²=BF•BC=5FC•6FC=30FC²；
∵BE²=60，∴FC=

2

cm，BC=6

2

cm；
同理，可得：EC²=FC•BC=12，即EC=2

3

cm．
由割线定理，得：AD•AB=AE•AC，即：
AD×8=2×（2+2

3

），解得AD=

3 +1

2

cm．

点评：本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用．