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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数ykx+b的图象与x轴交于点A(﹣30),与y轴交于点B,且与正比例函数yx的图象交点为Cm4).

1)求一次函数ykx+b的解析式;

2)求△BOC的面积;

3)若点D在第二象限,△DAB为等腰直角三角形,则点D的坐标为   

【答案】1yx+2;(23;(3)(﹣25)或(﹣53)或().

【解析】

1)把C点坐标代入正比例函数解析式可求得m,再把AC坐标代入一次函数解析式可求得kb,可求得答案;

2)先求出点B的坐标,然后根据三角形的面积公式即可得到结论;

3)由题意可分AB为直角边和AB为斜边两种情况,当AB为直角边时,再分A为直角顶点和B为直角顶点两种情况,此时分别设对应的D点为D2D1,过点D1D1Ey轴于点E,过点D2D2Fx轴于点F,可证明BED1≌△AOBAAS),可求得D1的坐标,同理可求得D2的坐标,AD1BD2的交点D3就是AB为斜边时的直角顶点,据此即可得出D点的坐标.

1Cm4)在正比例函数yx的图象上,

m4

解得:m3

C34),

C34)、A(﹣30)在一次函数ykx+b的图象上,

解得

一次函数的解析式为yx+2

2)在yx+2中,令x0,解得y2

B02),

SBOC×2×33

3)分AB为直角边和AB为斜边两种情况,

AB为直角边时,分A为直角顶点和B为直角顶点两种情况,

如图,过点D1D1Ey轴于点E,过点D2D2Fx轴于点F

D在第二象限,DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形,

ABBD1

∵∠D1BE+∠ABO90°ABO+∠BAO90°

∴∠BAOEBD1

BED1AOB中,

∴△BED1≌△AOBAAS),

BEAO3D1EBO2

OE=OB+BE=2+3=5

∴点D1的坐标为(﹣25);

同理可得出:AFD2≌△AOB

FABO2D2FAO3

D2的坐标为(﹣53),

AB为斜边时,如图,

∵∠D1ABD2BA45°

∴∠AD3B90°

AD1的解析式为y=k1x+b1

A-30)、D1-25)代入得

解得:

所以AD1的解析式为:y=5x+15

BD2的解析式为y=k2x+b2

B02)、D2-53)代入得

解得:

所以AD2的解析式为:y=x+2

解方程组得:

D3),

综上可知点D的坐标为(﹣25)或(﹣53)或().

故答案为:(﹣25)或(﹣53)或().

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