Question

11．如图，BA⊥MN，BA=2$\sqrt{3}$，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，在P点运动过程中，当AP=2或6时，△ABP和△CDP相似．

Answer 1

分析 当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，当△BAP∽△PDC时，易得∠BPA=30°，AP=$\frac{BA}{tan30°}$=6．

解答 解：如图1，当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=$\frac{BA}{tan30°}$=6．
所以AP=2或AP=6时，△ABP和△CDP相似；
故答案是：2或6．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，熟练利用相似三角形的性质得出线段之间的关系是解题关键．