Question

9．如图，在等边三角形ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ，今量得点A与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则点P与点C之间的距离等于38cm．

Answer 1

分析 如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．首先证明四边形APNQ是平行四边形，推出M与M′重合，再证明PC=AN即可解决问题．

解答 解：如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∴∠PNB=∠ACB=60°，
∴△PBN是等边三角形，
∴PB=PN，
∵AB=AC，AP=CQ，
∴PB=AQ=PN，
∴四边形APNQ是平行四边形，
∴PM′=QM′，
∴M与M′重合，AM=MN=19cm，AN=38cm，
在△ABN和△CBP中，
{BN=BP∠B=∠BAB=BC，
∴△ABN≌△CBP，
∴PC=AN=38cm，
故答案为38cm．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．