Question

已知抛物线y=x²+（m+3）x+m+1
（1）当m=0时，直接写出抛物线的顶点坐标．
（2）求证：无论m取何值，抛物线的顶点总在x轴的下方．

Answer 1

考点：二次函数的性质,抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：（1）把m=0代入y=x²+（m+3）x+m+1，然后把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）先计算判别式的值，得到△=（m+1）²+4，利用非负数的性质得△＞0，根据抛物线与x轴的交点问题得到抛物线与x轴有两交点，加上抛物线开口向上，于是可判断抛物线的顶点总在x轴下方．

解答：（1）解：m=0，y=x²+3x+1=（x+

3

2

）²-

5

4

，
所以抛物线的顶点坐标为（-

3

2

，-

5

4

）；
（2）证明：∵△=（m+3）²-4×1×（m+1）
=m²+2m+5
=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴有两交点，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点总在x轴下方．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了抛物线与x轴的交点问题．