Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：
①图形中全等的三角形只有两对；
②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；
③CD+CE=

2

OA；
④AD²+BE²=2OP•OC．
其中，正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论③正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
结论④正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．

解答：解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，

∠OAD=∠OCE=45° OA=OC ∠AOD=∠COE

，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论②正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=

2

OA．
结论④正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，
∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴

OE

OC

=

OP

OE

，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
综上所述，正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论④的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．