Question

8．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD²+CD²=2AD²．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之间的关系即可得证．

解答 证明：作AE⊥BC于E，如图所示：
由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×$\frac{1}{2}$BC×BC
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．

点评 本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．