Question

11、若不等式0≤x²-ax+a≤1有唯一解，那么a的值为

2

．

Answer 1

分析：根据题意有两种解法，一种是二次函数解法，另一种是一元二次方程．对方法一，先设出x²-ax+a=（x-k）²+1，根据对应相等得出a的值；而对方法二，根据一元二次方程的判别式和分解因式，得出a的范围，然后联立得出a的值．

解答：解：方法一：
x²-ax+a是开口向上的抛物线，∴0≤x²-ax+a≤有唯一解，只能是x²-ax+a的最小值为1，
∴设x²-ax+a=（x-k）²+1=x²-2kx+k²+1，
∴2k=a，k²+1=a，
∴2k=k²+1，（k-1）²=1，
∴k=1，
∴a=2k=2；
方法二：
由第一个不等号：0≤x²-ax+a，
根据一元二次方程的判别式，要使不等式成立，
则判别式△=a²-4a≤0，即0≤a≤4；
对第二个不等式，移项后分解因式即[x+（1-a）]（x-1）≤0，
则有1≤x≤a-1或a-1≤x≤1；
而由已知条件，两不等式联立有唯一解．故a-1=1，即a=2．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及一元二次方程根的判别式，是中考压轴题难度较大．