Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…，∠A_n-1BC的平分线与∠A_n-1CD的平分线交于点A_n．设∠A=θ，则∠A₂=

 

，∠A_n=

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，然后整理得到∠A₁=

1

2

∠A，同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁，从而判断出后一个角是前一个角的

1

2

，然后表示出，∠A_n即可．

解答：解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

θ

4

，
…，
∠A_n=

θ

2n

．
故答案为：

θ

4

；

θ

2n

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的

1

2

是解题的关键．