Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，

3

），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线问题AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
则AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，
∴OC=1，CC′=2×1×

1

2

=1，
∠OCC′=90°-30°=60°，
∴CD=1×

1

2

=

1

2

，C′D=1×

3

2

=

3

2

，
∵顶点B的坐标为（3，

3

），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+

1

2

=

5

2

，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′=

( 3 2 )2+( 5 2 )2

=

7

．
故答案为：

7

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．