Question

12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 过C作CD⊥AB于D，构造直角三角形后求得CD和AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，∴
BD=CD=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{12-3}$=3，
∴AB=AD+BD=3+$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（3+$\sqrt{3}$）=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．充分利用特殊角的三角函数值解决问题．