Question

19．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，线段BD垂直平分AC，DC∥AB．
求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 根据ASA可证△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质可得AB=CD，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，再根据菱形的判定即可求解．

解答 证明：∵DC∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∵线段BD垂直平分AC，
∴OA=OC，AD=CD，
在△AOB与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠ODC}\\{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．