Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为点D，CE∥AD，若AC=2，CE=4．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）求CB、AB的长；
（3）求四边形ACEB的周长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ACD=∠CDE，求得AC∥DE，于是得到结论；
（2）根据四边形ACED是平行四边形，得到AD=CE=4，根据勾股定理得到CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，根据已知条件得到BC=2CD=4$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
（3）根据线段垂直平分线的判定和性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形；

（2）∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE=4，
∵AC=2，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；

（3）∵CD=BD，DE⊥BC，
∴BE=CE=4，
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+AB=2+4+4+2$\sqrt{13}$=10+2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．