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    （2013•普陀区模拟）在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8cm，BC=18cm，sin∠BCD=
    45
    ，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．

    （1）如图：若四边形ABPQ是矩形，求t的值；
    （2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
    （3）如果⊙P的半径为6cm，⊙Q的半径为4cm，在移动的过程中，试探索：t为何值时⊙P与⊙Q外离、外切、相交？
    分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AB=8cm，sin∠BCD=
    4
    5
    ，可求得CD，CH的长，又由四边形ABPQ是矩形，可得AQ=BP，即可得方程：12-2t=3t，解此方程即可求得答案；
    （2）再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，当PG=CH时，四边形PCDQ是等腰梯形，可得BP+PG+GH+HC=BC，则可得方程：3t+6+2t+6=k，继而求得t与k的函数关系式，并可求得k的取值范围；
    （3）由PQ=DC=10cm，可知当⊙P与⊙Q外切时有两种情况：四边形CDQP是等腰梯形或平行四边形．然后分别讨论求解即可求得答案．
    解答：解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
    由题意可知：AB=DH=8cm，AD=BH，
    在Rt△DHC中，sin∠BCD=
    DH
    CD
    ，
    ∵sin∠BCD=
    4
    5
    ，
    ∴DC=10cm，
    ∴CH=
    		DC2-DH2
    =6    （cm），…（1分）
    ∴AD=BH=BC-CH，
    ∵BC=18cm，
    ∴AD=BH=12cm，…（1分）
    若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP，
    ∵AQ=12-2t（cm），BP=3tcm，
    ∴12-2t=3t，…（1分）
    ∴解得：t=
    12
    5
    ；…（1分）

    （2）如图2，由（1）得CH=6cm，
    再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
    ∴四边形DHGQ是矩形，
    ∴QD=GH=2t
    ∵当PG=CH时，四边形PCDQ是等腰梯形，
    ∴PG=6cm，…（1分）
    又∵BP+PG+GH+HC=BC，
    ∴3t+6+2t+6=k，…（1分）
    ∴t=
    k-12
    5
    ，…（1分）
    ∴k的取值范围为：k＞12；…（1分）

    （3）⊙P的半径为6cm，⊙Q的半径为4cm，
    ∴PQ=DC=10cm，
    ∴当⊙P与⊙Q外切时有两种情况：四边形CDQP是等腰梯形或平行四边形．
    ①如图3：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
    ∴t=
    6
    5
    ，…（1分）
    ②如图4：可以知道：四边形PCDQ是平行四边形，
    ∴QD=PC=2tcm，
    又∵BP=3tcm，BP+PC=BC，
    ∴3t+2t=18，
    ∴t=
    18
    5
    ，…（1分）
    ∴当0≤t＜
    6
    5
    或
    18
    5
    ＜t≤6    时，⊙P与⊙Q外离；…（2分）
    当t=
    6
    5
    或t=
    18
    5
    时，⊙P与⊙Q外切；
    当
    6
    5
    ＜t＜
    18
    5
    时，⊙P与⊙Q相交．…（2分）
    点评：此题考查了矩形的性质、直角梯形的性质、等腰梯形的性质以及圆与圆的位置关系等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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    ．
    求：（1）CD的长；
    （2）EF的长．

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    2
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