Question

如图，H是⊙O的内接锐角△ABC的高线AD、BE的交点，过点A引⊙O的切线，与BE的延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程x²-6x+36（cos²C-cosC+1）=0的实数根．
（1）求：∠C=______度；AB的长等于______（直接写出结果）；
（2）若BP=9，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∠C=60°，AB=3；

（2）结论：△ABC是等边三角形
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90°
又∵PA切⊙O于A，
∴∠PAC=∠ABC
∴∠P=∠BAD
而∠PBA=∠ABH，
∴△PBA∽△ABH
∴
∴当PB=9时，BH=
在Rt△BHD中，BD=BH•cos30°=
在Rt△ABD中，cos∠ABD=，
∴∠ABD=60°
即∠ABC=60°
∵∠C=60°
∴△ABC是等边三角形．
分析：（1）关于x的方程有实根，则△=（-6）²-4×1×36（cos²C-cosC+1）≥0，化简得：（2cosC-1）²≤0，只有2cosC-1=0，则∠C=60°，此时方程有相等的根，AB+AB=6；
（2）已知∠C=60°，则再证明△ABC中一个角为60°，则可知△ABC为等边三角形．
点评：此题作为压轴题，综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．