Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知AD=4，AB=5，AC=6，求外接圆的半径．

Answer 1

解：（1）如图所示，⊙O即为所求的三角形的外接圆，AE为直径；

（2）∵∠B、∠E所对的弧都是，
∴∠B=∠E，
∵AD⊥BC，AE是直径，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴=，
∵AD=4，AB=5，AC=6，
∴=，
解得AE=．
所以，外接圆的半径为．
分析：（1）分别作AB、AC两边的垂直平分线，相交于点O，再以O为圆心，以OA长为半径画圆，⊙O即为所求的三角形的外接圆，连接AO并延长与⊙O相交于点E，AE即为直径，再连接CE即可；
（2）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E，直径所对的圆周角是直角可得∠ACE=90°，然后证明△ABD和△AEC相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
点评：本题考查了作三角形外接圆，主要利用了线段垂直平分线的作法，还考查了直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大．