Question

4．（1）填空：
（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
（2）你发现规律了吗？请你用你发现的规律填空：
（a-1）（aⁿ+a^n-1+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1
（3）根据上述规律，请你求3²⁰¹³+3²⁰¹²+3²⁰¹¹+…+3的值．

Answer 1

分析 （1）直接计算得出即可；
（2）原式变形后，根据阅读材料中的方法计算即可得到结果；
（3）设M=1+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²+3²⁰¹³，可得出3M，两式相减求出M，即为所求式子的值．

解答 解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
故答案为：a²-1；a³-1；a⁴-1；

（2）（a-1）（aⁿ+a^n-1+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1；
故答案为：aⁿ⁺¹-1；

（3）令M=1+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²+3²⁰¹³，
可得3M=3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²+3²⁰¹³+3²⁰¹⁴，
∴3M-M=2M=3²⁰¹⁴-1，
则M=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁴-1），即1+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²+3²⁰¹³的值是$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁴-1）．
∴3²⁰¹³+3²⁰¹²+3²⁰¹¹+…+3
=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁴-1）-1
=$\frac{1}{2}$（3²⁰¹⁴-3）．

点评 此题考查了平方差公式的应用以及同底数幂的乘法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．