Question

12．已知关于x的一元二次方程x²-mx+m=x与x²+mx-4=0有一个相同的实数根．
（1）试求满足要求的所有m；
（2）选定上述m中的最小一个，若s是对应方程x²+mx-4=0的一个实数根，试求代数式$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法求出方程x²-mx+m=x的根为x=m或1，再把x=m代入x²+mx-4=0，求得m=±$\sqrt{2}$；把x=1代入x²+mx-4=0，求得m=3；
（2）先由（1）可得m=-$\sqrt{2}$，再解方程x²-$\sqrt{2}$x-4=0，求出x=2$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$，再分别代入$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$=$\frac{3（2-s）+3s}{s（2-s）}$=$\frac{6}{2s-{s}^{2}}$，计算即可求解．

解答 解：（1）∵x²-mx+m=x，
∴x²-（m+1）x+m=0，
∴（x-m）（x-1）=0，
∴x=m或1．
把x=m代入x²+mx-4=0，得m²+m•m-4=0，
解得m=±$\sqrt{2}$；
把x=1代入x²+mx-4=0，得1²+m•1-4=0，
解得m=3．
故满足要求的所有m的值为±$\sqrt{2}$或3；

（2）由题意可得m=-$\sqrt{2}$，
解方程x²-$\sqrt{2}$x-4=0，
解得x=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{18}}{2}$，
x=2$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$．
$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$=$\frac{3（2-s）+3s}{s（2-s）}$=$\frac{6}{2s-{s}^{2}}$，
当s=2$\sqrt{2}$时，原式=$\frac{6}{4\sqrt{2}-8}$=-$\frac{3\sqrt{2}+6}{4}$；
当s=-$\sqrt{2}$时，原式=$\frac{6}{-2\sqrt{2}-2}$=-3$\sqrt{2}$+3．

点评 本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解法，正确求出方程x²-mx+m=x的根是解题的关键．