Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC=4，BC=3，则AG的长为(　　)

A.B.C.D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接CF，先证明△ACF为直角三角形，再由△ABC中等面积法求出CF，进而求出AF；再证明△DEF为直角三角形，且G为DE的中点，最后AG=AF-GF即可求解.

解：连接CF，如下图所示：

∵M是AC的中点，∴MC=MA

∵M是旋转中心，C绕M点旋转后的落点为F

∴MC=MF

∴∠MCF=∠MFC，

∴MA=MC=MF

∴∠MFA=∠A

在△ACF中，由内角和定理知：∠A +∠MFA+∠ACF+∠CFM=180°

故2∠AFM+2∠CFM=180°

∴∠AFC=90°

∴△ACF为直角三角形，CF⊥AB

由△ABC等面积法知：，且AB=5

代入数据解得CF=

∴

∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90°

∴∠ACF=∠B

又DF⊥EF，

∴∠AFD+∠AFE=90°

∵∠AFD+∠MFC=90°

∴∠AFE=∠MFC=∠ACF

由知：∠B=∠AFE

又由旋转知：∠B=∠E

∴∠AFE=∠E，即GF=GE

由旋转知：∠A=∠D

又∠A=∠AFM

∴∠D=∠AFM，

∴GF=GD

故GF=GE= GD

∴G为Rt△DEF斜边DE上的中点

∴

∴

故答案为：A.