Question

如图，已知矩形ABCD，CN平分∠DCM，E为BC边上一点，EF⊥AE交CN于点F，以AE，EF为边作矩形AEFH．
（1）若ABCD为正方形，求证：AEFH也为正方形；
（2）若AB=8，BC=10，
①如果BE=6，求EF的长；
②设BE为x（x为正整数），EF交CD于点K，问x为何值时，BE+CK最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了四边形AEFH是矩形，那么只要证明它的两条邻边相等即可，可通过构建全等三角形来求解．在AB上截取AP=EC，连接PE，那么可通过证明三角形APE和EFC全等来得出AE=EF．进而得出四边形AEFH是正方形．
（2）①可通过构建相似三角形来求解，过F作BM的垂线BQ角BM于Q，那么可通过相似三角形ABE和EFQ来得出关于AB，BE，EQ，FQ的比例关系来求解，那么关键是表示出FQ，EQ的长，由于CF平分直角∠DCM，因此三角形PQC是个等腰直角三角形，那么EQ=FQ+CE=EQ+4，那么可在比例关系式中求出EQ的长，也就求出了FQ、EQ的长，可根据勾股定理得出EF的值．
②方法同①，根据三角形ABE和ECK相似，得出的关于AB、BE、CD、CE的比例关系，用x表示出CK，然后就可以得出关于BE+CK和x的函数关系式，根据函数的性质即可求出BE+CK的最大值．

解答：（1）证明：在AB上截取AP=EC，连接EP，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FBC．
∵AP=EC，AB=BC，
∴BP=BE．
∴∠BPE=∠FCM=45°．
∴∠APE=∠ECF=135°．
∵AP=EC，
∴△APE≌△FEC，
∴AE=EF．
∴四边形AEFH也为正方形．

（2）解：①过点F作BM的垂线，垂点为Q，设CQ=x，
∵∠AEB+∠BAE=∠FEQ+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEQ．
∵∠ABE=∠FQE=90°，
∴△ABE∽△EQF．
∴

FQ

EC+CQ

=

BE

AB

．
可得

x

4+x

=

6

8

，解得x=12，CQ=FQ=12，EQ=16．
在直角三角形EFQ中，根据勾股定理可得：EF=20．

②∵∠BAE=∠FEQ，∠ABE=∠BCK=90°，
∴△ABE∽△BCK．
∴

BE

AB

=

CK

EC

．
∵BE=x，EC=BC-BE=10-x，AB=8，
∴CK=

x(10-x)

8

，
所以BE+CK=-

1

8

(x-9)2+

81

8

，
当x=9时，BE+CK最大，最大值

81

8

．

点评：本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长是本题解题的基本思路．