Question

11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．
（1）求证：△BEC∽△BFA；
（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到△BEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，根据相似三角形判定定理即可得到结论；
（2）由已知条件的$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$，根据三角函数的定义得到tan∠EAF=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质得到∠BAF=∠BCE，即可得到结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，
∴△△BEC∽△BFA；

（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，
∴$\frac{EF}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠EAF=$\frac{1}{2}$，
设EF=k，AE=2k，
∴AF=$\sqrt{5}$，
∵△BEC∽△BFA，
∴∠BAF=∠BCE，
∴cos∠ECF=cos∠EAF=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．