Question

（6分）．已知关于x的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂|=x₁x₂﹣1，求k的值．

Answer 1

（1） k ≤ ,（2）-3

分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b²-4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x₁+x₂=2（k-1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．
解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得
△=b²-4ac=4（k-1）²-4k²=4k²-8k+4-4k²=-8k+4≥0，
解得，k≤；
（2）依据题意可得，x₁+x₂=2（k-1），x₁?x₂=k²，
由（1）可知k≤，
∴2（k-1）＜0，x₁+x₂＜0，
∴-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=x₁?x₂-1，
∴-2（k-1）=k²-1，
解得k₁=1（舍去），k₂=-3，
∴k的值是-3．
答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是-3．