Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF=DC，
∵AF=BD
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．
分析：（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．
点评：本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．