Question

2．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．
（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；
（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

Answer 1

分析 （1）模仿例题，即可得出结论．
（2）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，和后两位数所表示的数为10b+a，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题．
（3）设这个三位对称数为：100a+10b+a，由题意100a+10b+a-（2a+b）=99a+9b=11（9a+$\frac{9b}{11}$），根据整除的定义，即可解决问题．

解答 解：（1）678+876=1473，1473+3741=5214，5214+4152=9339，
所以以678产生的第一个对称数是9339．

（2）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，
和后两位数所表示的数为10b+a，
由题意（10a+b）-（10b+a）=9a-9b=9（a-b），
∵a、b为整数，
∴（a-b）是整数，
∴9（a-b）一定能被9整除，
∴这两个数的差一定能被9整除．

（3）设这个三位对称数为：100a+10b+a，
由题意100a+10b+a-（2a+b）=99a+9b=11（9a+$\frac{9b}{11}$），
∵所得的结果能被11整除，
∴9a+$\frac{9b}{11}$为整数，
∵a、b为整数，且0≤b≤9，1≤a≤9，
∴$\frac{9b}{11}$为整数，
∴b=0，a有9种可能，
∴满足条件的三位对称数共有9个．

点评 本题考查因式分解的应用、数字问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．