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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点C的坐标为(4,0),一次函数 的图像分别交x轴、y轴于点A、点B.

(1)若点D是直线AB在第一象限内的点,且BD=BC,试求出点D的坐标.
(2)在⑴的条件下,若点Q是坐标轴上的一个动点,试探索在第一象限是否存在另一个点P,使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边)?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:如图1,设点D(3a,4a+3),
过点D作DE⊥y轴于E,把x=0代入y= x+3中,得,y=3,

∴OB=3,
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a,BC= =5,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,(3a)2+(4a)2=52
∴a=±1,
∵点D在第一象限,
∴a=1,
∴D(3,7)
(2)解:由(1)知,BD=BC=5,
①当点Q在y轴上时,
设Q(0,q),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴PQ∥BD,DP∥BQ,
∴点P的横坐标为3,
∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵B(0,3),
∴Q(0,8)或(0,-2),
Ⅰ、当点Q(0,8)时,
∵直线BD的解析式为y= x+3,
∴直线PQ的解析式为y= x+8,
当x=3时,y=12,
∴P(3,12),
Ⅱ、点Q(0,-2)时,
∵直线BD的解析式为y= x+3,
∴直线PQ的解析式为y= x-2,
当x=3时,y=2,
∴P(3,2),
②当点Q在x轴上时,
设Q(m,0),),
∵使得以B,D,P,Q为顶点的四边形是菱形(BD为菱形的一边),且点P在第一象限内,
即:四边形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵OB=3,
∴OQ=4,
∴Q(-4,0)或(4,0)
Ⅰ、当Q(-4,0)时,∵一次函数y= x+3的图象交x轴于点A,
∴A(- ,0),
∴点Q在点A的左侧,
∴点P在第二象限内,不符合题意,舍去,
Ⅱ、当点Q(4,0)时,∵四边形BDPQ是菱形,
∴BQ∥DP,PQ∥BD,
∵直线BD的解析式为y= x+3,
∴设直线PQ的解析式为y= x+b,
×4+b=0,
∴b=-
∴直线PQ的解析式为y= x- ①,
∵B(0,3),Q(4,0),
∴直线BQ的解析式为y=- x+3,
∵D(3,7),
∴直线DP的解析式为y=- x+ ②,
联立①②解得,x=7,y=4,
∴P(7,4),
即:满足条件的点P的坐标为(3,12)、(3,2)、(7,4).
【解析】(1)过点D作DE⊥y轴于E,先求出直线AB与y轴的交点坐标,再根据勾股定理求出BC的长,然后在Rt△BED中用勾股定理建立方程求出a的值,就可求得点D的坐标。
(2)分两种情况讨论:①当点Q在y轴上时,利用菱形的性质求出BQ=5,再求出点Q的坐标为(0,8)或(0,-2),然后利用菱形的性质求出当点Q为(0,8)和(0,-2)时的点P的坐标;②当点Q在x轴上时,先求出点Q的坐标为(-4,0)或(4,0),然后利用菱形的性质分别求出点Q的坐标为(-4,0)和(4,0)时的点P的坐标。

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x

1

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1.3

1.4

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﹣1

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0.04

0.59

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