Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥DB，AC=5，∠DBC=30°，
（1）求对角线BD的长度；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）如图，过A作AEDB交CB延长线于E，∵AC⊥DB，AE∥DB，∴AC⊥AE，∠AEC=∠DBC=30°，∴∠EAC=90°，即△EAC为直角三角形，根据勾股定理即可求解；
（2）记梯形ABCD的面积为S，过A作AF⊥BC于F，则△AFE为直角三角形，求出梯形的高AF，根据梯形面积公式即可求解；

解答：解：（1）如图，过A作AE∥DB交CB延长线于E，
∵AC⊥DB，AE∥DB，
∴AC⊥AE，∠AEC=∠DBC=30°，
∴∠EAC=90°，即△EAC为直角三角形，
∴EC=2AC=10，
∴AE=

EC2-AC2

=

102-52

=5

3

，
∵AD∥BC且AE∥DB，
∴四边形AEBD为平行四边形．
∴DB=AE=5

3

；

（2）记梯形ABCD的面积为S，过A作AF⊥BC于F，则△AFE为直角三角形．
∵∠AEF=30°
∴AF=

1

2

AE=

5 3

2

，即梯形ABCD的高AF=

5 3

2

，
∵四边形AEBD为平行四边形，
∴AD=EB．
S=

1

2

（AD+BC）×AF=

1

2

EC×CF=

1

2

×10×

5 3

2

=

25 3

2

．

点评：本题考查了梯形及勾股定理，难度较大，关键是巧妙地构造辅助线进行求解．