Question

16．如图，已知抛物线y=x²-2tx+t²-2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线与点P．
（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把解析式转化成顶点式，得出顶点坐标，进而根据已知得出A（2，-2），从而得出抛物线的解析式，把x=1代入即可求得P的坐标；
（2）根据已知得出三角形ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=t，即E（0，-2+t），根据待定系数法求得AE的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程，解方程即可求得P（t-1，-1），然后根据梯形的面积公式即可求得；
（3）根据已知得出$\frac{1}{2}$PD•t=2（-$\frac{1}{2}$t²-2t+$\frac{3}{2}$），即$\frac{1}{2}$t=t²+4t-3，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2tx+t²-2=（x-t）²-2，
∴顶点A（t，-2），
∵点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，
∴$\frac{t}{2}$=1，
∴t=2，
∴A（2，-2），
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-2=x²-4x+2，
当x=1时，y=1-4+2=-1，
∴P（1，-1）；

（2）当AC=CP时，∠EAB=45°，
∴BE=AB=t，即E（0，-2+t），
∴直线AE的解析式为y=-x+t-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t-2}\\{y={x}^{2}-2tx+{t}^{2}-2}\end{array}\right.$得P（t-1，-1），
∴S=$\frac{1}{2}$OD×（OE+DP）=$\frac{1}{2}$（t-1）×（-t+2+1），
∴S=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$（1＜t＜2）；

（3）∵S_△ADE=2S，
∴$\frac{1}{2}$PD•t=2（-$\frac{1}{2}$t²-2t+$\frac{3}{2}$），即$\frac{1}{2}$t=t²+4t-3，
解得t=2（舍去）或t=$\frac{3}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点以及抛物线和直线的交点，梯形的面积，三角形的面积等．