Question

11．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AG交BD于点F，连结EG、EF．下列结论：
①tan∠AGB=2；②图中有9对全等三角形；③若将△GEF沿EF折叠，则点G不一定落在AC上；④BG=BF；⑤S_{四边形GFOE}=S_△AOF，
上述结论中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．

解答 解：①由折叠可得BG=EG，而GC＞GE，
∴GC＞BG，
∴tan∠AGB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABG≌△AEG，△FBG≌△FEG，（由折叠可知），
Rt△AOB≌Rt△COB，Rt△AOB≌Rt△AOD，Rt△AOB≌Rt△COD，Rt△AOD≌Rt△COB，Rt△AOD≌Rt△COD，Rt△COD≌Rt△COB，Rt△ABD≌Rt△CBD，Rt△ABC≌Rt△ADC，故②错误；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBG=∠DEF，
∴∠AEF=∠GEF=45°，
∴将△GEF沿EF折叠，可得点G一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AG是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFG为三角形ABF的外角，
∴∠BFG=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BGF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF，故④正确；
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵∠AEF=∠ACG=45°，
∴EF∥CG，
∴S_△EFG=S_△EFC，
∴S_{四边形GFOE}=S_△COF，
∴S_{四边形GFOE}=S_△AOF，
故⑤正确；
故正确的有2个．
故选：B．

点评 此题考查了由折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等．