Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．
（1）求证：AD=BD；
（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；
（3）当BD=2时，AC的长为

 

．（直接填出结果，不要求写过程）

Answer 1

分析：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15，易证AD=BD；
（2）在DE上截取DM=DC，连接CM，易证△ACD≌△BCD，再根据角与角之间的关系，求得△CMD是等边三角形，则AD+CD=DE可证；
（3）用解直角三角形求得AC的长．

解答：（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=30°．
∴AD=BD．

（2）证明：在DE上截取DM=DC，连接CM，
∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∵∠CAD=15°，
∴∠EDC=60°．
∵DM=DC，
∴△CMD是等边三角形．
∴∠CDA=∠CME=120°．
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAD．
∴△CAD≌△CEM．
∴ME=AD．
∴DA+DC=ME+MD=DE．
即AD+CD=DE．

（3）延长CD交AB于点H，则CH⊥AB，
∵∠HBD=30°，BD=2，
∴BH=BD•cos30°=

3

．
∴AC=BC=BH÷sin45°=

6

．

点评：本题把全等三角形的判定、等腰三角形的判定和解直角三角形结合求解．综合性强，难度较大，考查学生综合运用数学知识的能力．