Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．若DE=acm，BD=bcm（a＞b），则CD=

a-b

cm．

Answer 1

分析：在DE上截取DF=CD，先求出∠DAB=∠DBA=30°，根据等角对等边的性质可得AD=BD，再利用“边角边”证明△ACD和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDE=60°，从而判定出△CDF是等边三角形，再求出∠ECF=∠ACD=45°，利用“边角边”证明△ACD和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=EF，然后求解即可．

解答：解：如图，在DE上截取DF=CD，
∵∠CAD=∠CBD=15°，等腰直角△ABC中AC=BC，
∴∠DAB=∠DBA=45°-15°=30°，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，

AC=BC ∠CAD=∠CBD=15° AD=BD

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

×90°=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ECF=180°-15°×2-45°-60°=45°，
∴∠ECF=∠ACD，
在△ACD和△ECF中，

AC=CE ∠ECF=∠ACD CD=CF

，
∴△ACD≌△ECF（SAS），
∴EF=AD，
∵DE=acm，BD=bcm，
∴CD=DF=DE-AD=a-b．
故答案为：a-b．

点评：本题考查了等角对等边的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，难度较大，作辅助线构造出等边三角形与全等三角形是解题的关键．